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专题12  动能定理和机械能守恒定律

考点01 动能和动能定理

1. .（2024年高考福建卷） 先后两次从高为高处斜向上抛出质量为同一物体落于，测得，两轨迹交于P点，两条轨迹最高点等高且距水平地面高为，下列说法正确的是（　　）

A. 第一次抛出上升时间，下降时间比值为

B. 第一次过P点比第二次机械能少

C. 落地瞬间，第一次，第二次动能之比为

D. 第二次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第一次大

【参考答案】B

【名师解析】第一次斜抛出物体上升的高度为h₁=3.2m-1.4m=1.8m

逆向思维为平抛运动，可得h₁=，解得上升时间t_1上=0.6s

最高点距离水平地面高度为h₀=3.2m，由平抛运动规律，h₀=，解得下落时间t_1下=0.8s

第一次抛出上升时间，下降时间比值为  t_1上׃t_1下=0.6׃0.8=3׃4，A错误。

两条轨迹最高点等高，故可知两次从抛出到落地的时间相等，

从抛出到落地的时间为  t= t_1上׃+_1下=0.6+0.8=1.4s

第一次抛出时水平方向的分速度为v_x1=OQ₁/t=6m/s

第二次抛出时水平方向的分速度为v_x2=OQ₂/t=7m/s

由于两条轨迹最高点等高，故抛出时竖直方向的分速度相等为=6m/s

物体斜抛运动机械能守恒，故物体第一次过P点比第二次机械能少△E=-=，B正确；

物体从抛出到落地瞬间的过程，由动能定理，

故落地瞬间，第一次，第二次动能之比为100׃113，C错误；

根据前面分析可知，两次抛出时竖直方向的分速度相等，两次落地时物体在竖直方向的分速度也相等。由于第一次抛出时水平分速度较小，故可知第一次抛出时初速度与水平方向的夹角较大，第一次落地时速度与水平方向的夹角也较大，故第二次抛出时速度方向与落地瞬间速度方向夹角比第一次小，D错误。

2.   （2022年1月浙江选考）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角=37°的光滑直轨道AB、圆心为O₁的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O₂的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O₁、D、O₂和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨道AB长度，滑块与轨道FG间的动摩擦因数，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，

（1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力F_N的大小；

（2）设释放点距B点的长度为，滑块第一次经F点时的速度v与之间的关系式；

（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度的值。

【参考答案】（1）7N；（2）；（3）见解析

【名师解析】（1）到C点过程

C点时由牛顿第二定律，

解得：

（2）能过最高点时，则能到F点，则恰到最高点时

解得

要能过F点

（3）设摩擦力做功为第一次到达中点时的n倍

解得  

当时，

当时，

当时，

易错警示：本题（2）中考生容易得出速度关系，但的取值范围弄错，写成，导致这种错误的原因是漏掉必须通过圆弧轨道的最高点才能到达点，即漏掉这个制约关系从而无法正确界定。

本题（3）中考生易漏掉这个条件，从而不能完整的解答。

考点02 机械能和机械能守恒定律

1．（2022年全国理综甲卷第14题）北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于（    ）

A．          B．          C．        D．

【参考答案】D

【命题意图】本题考查机械能守恒定律，牛顿运动定律，圆周运动。

【解题思路】从a到c，由机械能守恒定律，mgh=mv²，在c点，由牛顿第二定律，F-mg=m，F≤kmg，联立解得R≥，选项D正确。

2. （2022年全国理综乙卷第16题）固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（　　）

A. 它滑过的弧长

B. 它下降的高度

C. 它到P点的距离

D. 它与P点的连线扫过的面积

【参考答案】C

【名师解析】

设小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑到Q，如图所示

设圆环下降的高度为，圆环的半径为，它到P点的距离为，根据机械能守恒定律得

由几何关系可得，

联立可得

由可得，即小环的速率正比于它到P点的距离L，故C正确，ABD错误。

3.（2022新高考江苏卷）某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能与水平位移x的关系图像正确的是（　　）

A. B.

C. D.

【参考答案】A

【命题意图】本题考查动能定理及其相关知识点。

【解题思路】

设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知，运动员在沿斜面下滑过程中，根据动能定理有E_k=mgxtanθ，即E_k=mgtanθ×x，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳，下滑过程中开始阶段倾角θ不变，E_k-x图像为一条倾斜的直线；经过圆弧轨道过程中θ先减小后增大，即图像斜率先减小后增大，所以运动员的动能与水平位移x的关系图像正确的是图A。

4. （2022新高考江苏卷）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接在一起，处于压缩状态，A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右侧，A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始位置时速度为零，A、B与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（　　）

A. 当上滑到最大位移的一半时，A的加速度方向沿斜面向下

B. A上滑时、弹簧的弹力方向不发生变化

C. 下滑时，B对A的压力先减小后增大

D. 整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功大于B的重力势能减小量

【参考答案】B

【命题意图】本题考查牛顿运动定律、能量守恒定律及其相关知识点。

【解题思路】

由于A、B在下滑过程中不分离，设在最高点的弹力为F，方向沿斜面向下为正方向，斜面倾角为θ，AB之间的弹力为F_AB，摩擦因素为μ，刚下滑时根据牛顿第二定律对AB整体有

隔离B分析受力，根据牛顿第二定律有

联立可得 。

由于A对B的弹力F_AB方向沿斜面向上，故可知在最高点F的方向沿斜面向上；由于在开始时弹簧弹力也是沿斜面向上的，所以弹簧一直处于压缩状态，所以A上滑时、弹簧的弹力方向一直沿斜面向上，弹力方向不发生变化，选项B正确；设弹簧原长在O点，A刚开始运动时距离O点为x₁，A运动到最高点时距离O点为x₂；下滑过程A、B不分离，则弹簧一直处于压缩状态，上滑过程根据能量守恒定律可得

，化简得。

当上滑到最大位移的一半时，A所受合外力

代入k值可知F_合=0，由牛顿第二定律可知此时加速度为0，选项A错误；

根据B的分析可知

再结合B选项的结论可知下滑过程中F向上且逐渐变大，则下滑过程F_AB逐渐变大，根据牛顿第三定律可知B对A的压力逐渐变大，选项C错误；由于A回到初始位置，整个过程中弹力做的功为0，A重力做的功为0，当A回到初始位置时速度为零，根据功能关系可知整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功等于B的重力势能减小量，选项D错误。

5. （2022年福建高考）一物块以初速度自固定斜面底端沿斜面向上运动，一段时间后回到斜面底端。该物体的动能随位移x的变化关系如图所示，图中、、均己知。根据图中信息可以求出的物理量有（　　）

A. 重力加速度大小

B. 物体所受滑动摩擦力的大小

C. 斜面的倾角

D. 沿斜面上滑的时间

【参考答案】BD

【命题意图】此题考查动能定理、对动能随位移x的变化关系图像的理解及其相关知识点。

【名师解析】

由动能定义式得，则可求解质量m；上滑时，由动能定理

下滑时，由动能定理

x₀为上滑的最远距离；由图像的斜率可知

，

两式相加可得

相减可知

即可求解gsinθ和所受滑动摩擦力f的大小，但重力加速度大小、斜面的倾角不能求出，故选项AC错误，B正确；

根据牛顿第二定律和运动学关系得，

故可求解沿斜面上滑的时间，选项D正确。

考点02 重力势能和机械能守恒定律

6. （2024高考甲卷）如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小（　　）

A. 在Q点最大 B. 在Q点最小

C. 先减小后增大 D. 先增大后减小

【答案】C

【解析】

方法一（分析法）：设大圆环半径为，小环在大圆环上某处（点）与圆环的作用力恰好为零，如图所示

设图中夹角为，从大圆环顶端到点过程，根据机械能守恒定律

在点，根据牛顿第二定律

联立解得

从大圆环顶端到点过程，小环速度较小，小环重力沿着大圆环圆心方向的分力大于小环所需的向心力，所以大圆环对小环的弹力背离圆心，不断减小，从点到最低点过程，小环速度变大，小环重力和大圆环对小环的弹力合力提供向心力，所以大圆环对小环的弹力逐渐变大，根据牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。

方法二（数学法）：设大圆环半径为，小环在大圆环上某处时，设该处与圆心的连线与竖直向上的夹角为，根据机械能守恒定律

在该处根据牛顿第二定律

联立可得

则大圆环对小环作用力的大小

根据数学知识可知的大小在时最小，结合牛顿第三定律可知小环下滑过程中对大圆环的作用力大小先减小后增大。

故选C。

7．（2024高考北京卷）如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接．一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C．下列说法正确的是（    ）

A．物体在C点所受合力为零

B．物体在C点的速度为零

C．物体在C点的向心加速度等于重力加速度

D．物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能

【参考答案】．C  

【考查知识点】  竖直平面内的圆周运动、能量守恒定律  

【名师解析】物体恰好能到达最高点C，则物体在最高点只受重力，且重力全部用来提供向心力，设半圆轨道的半径为r，由牛顿第二定律得，解得物体在C点的速度，AB错误；由牛顿第二定律得，解得物体在C点的向心加速度，C正确；由能量守恒定律知，物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点时的动能和重力势能之和，D错误．

2．（2023年6月高考浙江选考科目）铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能E_k和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是（    ）

A．       B．      C．       D．

【参考答案】D

【名师解析】铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，铅球只受重力，其加速度a=g，铅球竖直速度随时间均匀增大，水平速度不变，所以铅球速度随时间不是均匀增大，AB错误；铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，铅球只受重力，机械能守恒，动能逐渐增大，但不是均匀增大，C错误D正确。

考点03 能量转化和守恒定律

6. （2023高考选择性考试辽宁卷）某大型水陆两柄飞机具有水面滑行汲水和空中投水等功能。某次演练中，该飞机在水而上由静止开始匀加速直线滑行并汲水，速度达到v₁=80m/s时离开水面，该过程滑行距离L=1600m、汲水质量m=1.0×10⁴kg。离开水面后，飞机琴升高度h=100m时速度达到v₂=100m/s，之后保持水平匀速飞行，待接近目标时开始空中投水。取重力加速度g=10m/s²。求：

（1）飞机在水面滑行阶段的加速度a的大小及滑行时间t；

（2）整个攀升阶段，飞机汲取的水的机械能增加量ΔE。

【参考答案】（1），；（2）

【名师解析】

（1）飞机做从静止开始做匀加速直线运动，平均速度为，则  

解得飞机滑行的时间为  

飞机滑行的加速度为   

（2）飞机从水面至处，水的机械能包含水的动能和重力势能，则机械能变化量为

3. （2023年高考全国乙卷）如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块（可视为质点）从木板上的左端以速度v₀开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时（   ）

A. 木板的动能一定等于fl B. 木板的动能一定小于fl

C. 物块的动能一定大于 D. 物块的动能一定小于

【参考答案】BD

【命题意图】本题考查滑块木板模型、动能定理、能量守恒定律及其相关知识点。

【解题思路】画出物块与木板运动示意图和速度图像。

对物块，由动能定理，-fx₁=-

对木板，由动能定理，fx₂=

根据速度图像面积表示位移可知，x₂=S_△COF，x₁=S_ABFO， 

l= x₁-x₂= S_ABCE＞x₂=S_△COF，

因-fl＞fx₂=，A错误B正确； 

对系统，由能量守恒定律，fl=-（+），

物块动能=-fl-＜-fl，C错误D正确。

【思路点拨】正确画出二者运动的速度图像是解题的关键。

4. （2022高考河北）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体和用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量，时刻将两物体由静止释放，物体的加速度大小为。时刻轻绳突然断开，物体能够达到的最高点恰与物体释放位置处于同一高度，取时刻物体所在水平面为零势能面，此时物体的机械能为。重力加速度大小为，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（　　）

A. 物体和的质量之比为

B. 时刻物体的机械能为

C. 时刻物体重力的功率为

D. 时刻物体的速度大小

【参考答案】BCD

【命题意图】本题考查牛顿运动定律、机械能、功率及其相关知识点。

【名师解析】由牛顿第二定律，m_Qg- m_Pg =（m_Q+ m_P）a，a=，解得m_P׃m_Q=1׃2，选项A错误；经过时间T，P上升高度，h₁==，T时刻P速度v=aT=，P竖直上抛运动，竖直上抛高度h₂==。PQ之间竖直高度为h= h₁+ h₂= +=，t=0时物体的机能为E= m_Qg h=..。在Q匀加速下落过程中，隔离Q受力分析，由牛顿第二定律，m_Qg- F =m_Qa，解得细绳中拉力F= 2m_Qg/3.对Q由功能原理可知，T时刻Q的机械能为E_T=E-F h₁=-2m_Qg/3×==E/2，T时刻后，只有重力对Q做功，Q机械能不变，所以时刻物体的机械能为，选项B正确；由竖直上抛运动到最高点的时间为t=v/g=T/3，时刻物体P的速度v=g×2T/3=2gT/3，物体重力的功率为P_G= m_Pgv===，选项CD正确。

3. （2024年1月浙江选考）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（　　）

A. 从1到2动能减少

. 从1到2重力势能增加

C. 从2到3动能增加

D. 从2到3机械能不变

【答案】B

【解析】

由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从从1到2重力势能增加，则1到2动能减少量大于，A错误，B正确； 从2到3由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于，选项CD错误。