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专题31  电磁感应+电路和动力学

考点01 电磁感应+电路

1．（2024年高考湖北卷第15题）. 如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内，直导轨在左端M、P点分别与两条竖直固定、半径为L的圆弧导轨相切。MP连线与直导轨垂直，其左侧无磁场，右侧存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab跨放在两圆弧导轨的最高点。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。现将金属棒ab由静止释放，求

（1）ab刚越过MP时产生的感应电动势大小；

（2）金属环刚开始运动时的加速度大小；

（3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据题意可知，对金属棒ab由静止释放到刚越过MP过程中，由动能定理有

解得

则ab刚越过MP时产生的感应电动势大小为

（2）根据题意可知，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路，由几何关系可得，每段圆弧的电阻为

可知，整个回路的总电阻为

ab刚越过MP时，通过ab的感应电流为

对金属环由牛顿第二定律有

解得

（3）根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab和金属环速度相等时，金属棒ab恰好追上金属环，设此时速度为，由动量守恒定律有

解得

对金属棒，由动量定理有

则有

设金属棒运动距离为，金属环运动的距离为，则有

联立解得

则金属环圆心初始位置到MP的最小距离

2. . （2022高考上海）宽L=0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B=0.4T的匀强磁场。虚线框I、II中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一般接入时沿abcda方向电势变化的图像。求：

（1）匀强磁场的方向；

（2）分析并说明定值电阻R₀在I还是在II中，并且R₀大小为多少？

（3）金属杆运动的速率；

（4）滑动变阻器阻值为多大时变阻器的功率最大？并求出该最大功率P_m。

【命题意图】本题考查电磁感应及其相关知识点。

【思维导图】由电势图像得出a点电势高→切割磁感线产生感应电动势的金属杆是电源→金属杆上端为高电势（电源正极）→金属杆中电流方向从下到上→右手定则→磁场方向垂直纸面向里

对比图甲和图乙→串联电路分压规律→I中为定值电阻→欧姆定律列方程组→解得R₀和φ₀..

把定值电阻和金属杆视作等效电源→电源输出电功率最大条件→滑动变阻器最大功率

【名师解析】（1）a点电势高，即金属杆上端电势高，根据右手定则可判断出磁场垂直纸面向里

（2）滑动变阻器接入阻值减小时，Uab变大，根据串联电路分压特点，说明I中的阻值分到的电压增多，I中为定值电阻。

金属杆的电阻不计，U_ad=E=φ₀。

滑动变阻器两种情况下，R=1.2V，R=1.0V，

联立解得：R₀=5Ω，φ₀=1.5V

（3）金属杆切割磁感线，产生感应电动势 ，E=BLv=φ₀=1.5V

  解得v=5m/s

（4）将定值电阻和金属杆视作一个等效电源，由电源输出功率最大的条件可知，当滑动变阻器阻值为Rx= R₀=5Ω时，滑动变阻器消耗的电功率最大，最大功率P_m===0.1125W。

3. （2022年全国理综甲卷第20题）如图，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，（    ）

A．通过导体棒MN电流的最大值为        

B．导体棒MN向右先加速、后匀速运动

C．导体棒MN速度最大时所受的安培力也最大  

D．电阻R上产生的焦耳热大于导体棒MN上产生的焦耳热

【参考答案】AD 

【命题意图】本题考查电容器电容、电磁感应、安培力、运动情况分析、焦耳热。

【解题思路】带电荷量Q的电容器两端电压U=Q/C，合上开关S的瞬间，通过导体棒MN的电流最大，最大值为I_M=U/R= Q/RC，选项A正确；合上开关S后导体棒MN受到向右安培力作用先向右加速运动，产生与原来电流方向相反的感应电动势，阻碍电流通过MN放电，而电容器还可以通过电阻R放电，导体棒MN向右运动产生的感应电动势与电阻R形成回路，受到向左安培力作用做减速运动，选项B错误；合上开关S的瞬间，通过导体棒MN的电流最大，导体棒所受安培力最大，选项C错误；由于合上开关S后导体棒MN受到向右安培力作用先向右加速运动，产生与原来电流方向相反的感应电动势，阻碍电流通过MN放电，所以电阻R产生的焦耳热大于导体棒MN上产生的焦耳热，选项D正确。

【易错提醒】通电导线做切割磁感线运动，产生与原来电流方向相反的感应电动势，阻碍电流通过。

4．（2022年全国理综甲卷第16题）三个用同样的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为和。则（    ）

A．      B．       

C．       D．

【参考答案】C

【命题意图】本题考查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律及其相关知识点。

【解题思路】设磁感应强度变化率为k，设圆半径为r，单位长度导线的电阻为R₀，则正方形线框产生的感应电动势E₁=4r²k，正方形线框电阻R₁=8r R₀，感应电流I₁= E₁/ R₁=kr/2R₀；圆形线框产生的感应电动势E₂=πr²k，圆形线框电阻R₂=2πr R₀，感应电流I₂= E₂/ R₂=kr/2R₀；正六边形线框产生的感应电动势E₃=r²k，正六边形线框电阻R₃=6r R₀，感应电流I₃= E₃/ R₃=；所以I1=I2＞I3，选项C正确。

考点02 电磁感应+动力学

1. （2024高考辽宁卷） 如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，两棒在下滑过程中（　　）

A. 回路中的电流方向为abcda

B. ab中电流趋于

C. ab与cd加速度大小之比始终为2︰1

D. 两棒产生的电动势始终相等

【答案】AB

【解析】

导体棒ab和cd同时由静止释放，速度为v时，ab产生的感应电动势E₁=2BLv，由右手定则可判断出ab中感应电动势方向为a→b；cd产生的感应电动势E₂=BLv，由右手定则可判断出ab中感应电动势方向为c→d，两导体棒产生的感应电动势；所以回路中的电流方向为abcda，A正确；当导体棒所受安培力沿导轨方向的分力等于重力沿导轨方向的分力时，导体棒匀速运动，电流趋于最大值。设ab导体棒中电流趋于I，ab所受安培力F=2BLI，由Fcos30°=2mgsin30°，解得I=，B正确；导体棒速度为v时回路中总感应电动势E=E₁+E₂=3BLv，导体棒中电流I=E/2R=,对导体棒ab，所受安培力F₁=，由牛顿第二定律2mgsin30°-F₁cos30°=2ma₁，解得a₁=g/2-；对导体棒cd，由所受安培力F₂=，由牛顿第二定律mgsin30°-F₂cos30°=ma₂，解得a₂=g/2-；由此可知，ab和cd加速度大小始终相等，C错误；由于ab和cd加速度大小始终相等，可知两导体棒速度大小始终相等，由于两边磁感应强度不同，由E=BLv可知两导体棒产生的感应电动势始终不相等，D错误。

2. （2024年高考河北卷）如图，边长为的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴。间距为L、与水平面成角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒在水平面内绕O点以角速度匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒始终静止。棒在转动过程中，棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。

（1）求棒所受安培力的最大值和最小值。

（2）锁定棒，推动棒下滑，撤去推力瞬间，棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于（1）问中安培力的最大值，求棒与导轨间的动摩擦因数。

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）当OA运动到正方形细框对角线瞬间，切割的有效长度最大，，此时感应电流最大，CD棒所受的安培力最大，根据法拉第电磁感应定律得

根据闭合电路欧姆定律得

故CD棒所受的安培力最大为

当OA运动到与细框一边平行时瞬间，切割的有效长度最短，感应电流最小，CD棒受到的安培力最小，得

故CD棒所受的安培力最小为

（2）当CD棒受到的安培力最小时根据平衡条件得

当CD棒受到的安培力最大时根据平衡条件得

联立解得

撤去推力瞬间，根据牛顿第二定律得

解得

3 （2023高考湖南卷）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距为，两导轨及其所构成的平面均与水平面成角，整个装置处于垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为．现将质量均为的金属棒垂直导轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为．运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为．

（1）先保持棒静止，将棒由静止释放，求棒匀速运动时的速度大小；

（2）在（1）问中，当棒匀速运动时，再将棒由静止释放，求释放瞬间棒的加速度大小；

（3）在（2）问中，从棒释放瞬间开始计时，经过时间，两棒恰好达到相同的速度，求速度的大小，以及时间内棒相对于棒运动的距离．

【参考答案】（1）；（2）；（3）

【名师解析】

（1）a匀速运动切割磁感线产生的感应电动势E1=BLv₀，

  导体棒a中电流I=E₁/2R

所受安培力F=BIL，

匀速运动，mgsinθ=F

联立解得v₀==

（2）当导体棒a匀速运动时，释放b，由左手定则可判断出导体棒b受到沿导轨斜向下的安培力力，由牛顿第二定律，mgsinθ+F=ma，

解得 a=2gsinθ。

（3释放导体棒b后，由于导体棒b中产生的感应电动势对于回路来说，与导体棒a中产生的感应电动势方向相反，所以两导体棒所受安培力均减小，对导体棒a，由动量定理，（mgsinθ-F）t₀=mv-mv₀

对导体棒b，由动量定理，（mgsinθ+F）t₀=mv

联立解得：v=gt₀sinθ+

取导体棒变速运动过程中，导体棒a速度为v_i时产生的感应电动势为E_i=BLv_i，同时导体棒b速度为v_j，感应电动势E_j=BLv_j，导体棒中电流为I==，所受安培力F=BIL=

对导体棒b，由动量定理，（mgsinθ+）△t=m△v

方程两侧求和Σ【(mgsinθ+）△t】=Σm△v

注意到：Σ△t=t0，Σ△v=v，Σ（v_i-v_j）△t=△x

解得：△x=

4．（11分）（2023年6月高考浙江选考科目）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成团合回路。装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示。

导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零：在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小（其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小，方向与B₁相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v₀进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻。在火箭落停过程中，

（1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；

（2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系；

（3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W；

（4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。

【参考答案】（1）3Mg；；（2）E=（v₀-2gt）；

（3）；     

（4）装置A可回收的能量包括导电杆和火箭的动能和重力势能。

【名师解析】（1）导电杆所受安培力F=B₁Id=kI·I·=3Mg

由动能定理，-FL+MgL=0-

解得：L=。

（2）火箭与导电杆下落做匀减速运动，由F-Mg=Ma，解得加速度大小为a=2g。

在时刻t，导电杆的速度v=v₀-at=v₀-2gt，

导电杆切割磁感线产生的感应电动势E=B₂dv=2kI·d·（v₀-2gt）=（v₀-2gt）

（3）根据题述导电杆中电流恒定为I，则有U-E=IR，

解得装置A输出电压U=IR+ v₀-t=

装置A输出的电功率P=UI= I²R+ 3Mgv₀-6Mg²t

由v₀-2gt₀=0解得总下落时间t₀=

令I²R+ 3Mgv₀=P₀，画出输出的电功率P随时间t变化图像，如图。

电功率P随时间t变化图像与横轴所围面积等于输出的能量W，

所以W==（I²R+ 3Mgv₀）=

（4）若R的阻值视为零，装置A可回收的能量包括导电杆和火箭的动能和重力势能；

动能为E_K=，重力势能为为E_p=Mg·=，

可回收的总能量为W_回= E_K+ E_p=+=

5. （2022·全国理综乙卷·24）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为；在到时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为。求:

（1）时金属框所受安培力的大小；

（2）在到时间内金属框产生的焦耳热。

【参考答案】（1）；（2）0.016J

【名师解析】

（1）金属框的总电阻为

金属框中产生的感应电动势为

金属框中的电流为

t=2.0s时磁感应强度

金属框处于磁场中的有效长度为

此时金属框所受安培力大小为

（2）内金属框产生的焦耳热为

6. （2022年高考辽宁物理）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动，磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。

（1）求M刚进入磁场时受到安培力F的大小和方向；

（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，求：①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；②初始时刻N到的最小距离x；

（3）初始时刻，若N到的距离与第（2）问初始时刻的相同、到的距离为，求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。

【参考答案】（1），方向水平向左；

（2）①，②；（3）2≤k＜3

【命题意图】本题考查电磁感应、闭合电路欧姆定律、安培力、动量定理、动量守恒定律及其相关知识点.

【名师解析】

（1）细金属杆M以初速度v₀向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为E=BLv₀

电流方向为a→b，电流的大小为  I=E/2R

则所受的安培力大小为   F=BIL=

安培力的方向由左手定则可知水平向左；

（2）①金属杆N在磁场内运动过程中，由动量定理有

且

联立解得通过回路的电荷量为

②设两杆在磁场中相对靠近的位移为△x，有

整理可得

联立可得

若两杆在磁场内刚好相撞，N到ab的最小距离为

（3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N到cd的距离与第（2）问初始时刻的相同、到ab的距离为kx（k＞1），则N到ab边的速度大小恒为，根据动量守恒定律可知

解得N出磁场时，M的速度大小为

由题意可知，此时M到cd边的距离为   s=（k-1）x

若要保证M出磁场后不与N相撞，则有两种临界情况：

①M减速到时出磁场，速度刚好等于N的速度，一定不与N相撞，对M根据动量定理有

联立解得

k=2

②M运动到cd边时，恰好减速到零，则对M由动量定理有

同理解得

k=3

综上所述，M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围为2≤k＜3

7. （2024年1月浙江选考·21）如图1所示，扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在点，三个相同的关于轴对称放置的减振器位于平台下方。如图2所示，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示。已知时速度为，方向向下，、时刻的振幅分别为，。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为时，其弹性势能为。不计空气阻力，求

（1）平台静止时弹簧的伸长量；

（2）时，每个线圈所受到安培力F的大小；

（3）在时间内，每个线圈产生的焦耳热Q；

（4）在时间内，弹簧弹力冲量的大小。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】

（1）平台静止时，穿过三个线圈的的磁通量不变，线圈中不产生感应电流，线圈不受到安培力作用，O点受力平衡，因此由胡克定律可知此时弹簧的伸长量

（2）在时速度为，设每个线圈的周长为L，由电磁感应定律可得线圈中产生的感应电流

每个线圈所受到安培力F的大小

（3）由能量守恒定律可得平台在时间内，振动时能量的减少

在时间内，振动时能量的减少转化为线圈的焦耳热，可知每个线圈产生的焦耳热

（4）全程由动量定理可得

其中

联立解得弹簧弹力冲量的大小为