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专题09  万有引力和天体运动

考点01 万有引力定律

1. （2024年高考广西卷）潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　）

A. a处最大 B. b处最大

C. c处最大 D. a、c处相等，b处最小

【答案】A

【解析】

根据万有引力公式  

可知图中a处单位质量的海水收到月球的引力最大；故选A。

2. （2023高考江苏学业水平选择性考试）设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道．该卫星与月球相比，一定相等的是（    ）

A. 质量 B. 向心力大小

C. 向心加速度大小 D. 受到地球的万有引力大小

【参考答案】C

【名师解析】

根据  ，可得  

因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不相同。C正确。

3. （2023年高考选择性考试辽宁卷）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）

A. B.

C. D.

【参考答案】D

【名师解析】

设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据   

可得   ，

其中  ，

联立可得  ，D正确。

4．（2022年重庆高考）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的倍，已知地球半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（    ）

A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力

B．空间站绕地球运动的线速度大小约为

C．地球的平均密度约为

D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍

【参考答案】BD

【名师解析】漂浮在空间站中的宇航员受地球的引力，选项A错误；根据题述，空间站绕地球做匀速圆周运动的轨道半径约为地球半径的倍，即r=R。

根据匀速圆周运动规律，v==，选项B正确；

设空间站的质量为m，空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G=mr，r=R，

地球平均密度  ρ=M/V，V=，联立解得ρ=，选项C错误；

根据万有引力定律和牛顿第二定律，G=ma，r=R，在地球表面，G=mg，联立解得：=，

所以空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍，选项D正确。

5. （2022年全国理综乙卷·14）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（　　）

A. 所受地球引力的大小近似为零

B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零

C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等

D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小

【参考答案】C

【名师解析】航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，AB错误；根据万有引力公式

可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船所受的万有引力大小，因此地球表面引力大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。

6．（2022年新高考海南卷）火星与地球的质量比为a，半径比为b，则它们的第一字宙速度之比和表面的重力加速度之比分别是（    ）

A．     B．=     

C．     D．

【参考答案】BC

【名师解析】由mg=G可得火星与地球表面的重力加速度之比是==，选项A错误C正确；由v₁=可得火星与地球的第一字宙速度之比是==， 选项B正确D错误。

考点01 天体运动

1．（2024年全国理综新课程卷）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮屋有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（    ）

A．0.001倍 B．0.1倍

C．10倍 D．1000倍

【参考答案】  B

【名师解析】   本题考查的考点：万有引力定律、牛顿运动定律。

设红矮星质量为M₁，行星GJ1002c的质量为m₁，太阳质量为M₂，地球的质量为m₂，地球绕太阳匀速圆周运动的轨道半径为r，周期为T，由万有引力提供向心力，

=.  =., 联立解得=0.1，B正确。

2. （2024年高考江西卷）两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，半径分别为、，则动能和周期的比值为（   ）

A. B.

C. D.

【参考答案】A

【名师解析】

两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，则月球对卫星的万有引力提供向心力，设月球的质量为M，卫星的质量为m，则半径为r₁的卫星有

半径为r₂的卫星有

再根据动能，可得两卫星动能和周期比值分别为

，

故选A。

3．（10分）（2024高考北京卷）科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质（星体等）在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样．以某一点O为观测点，以质量为m的小星体（记为P）为观测对象．当前P到O点的距离为，宇宙的密度为．

（1）求小星体P远离到处时宇宙的密度ρ；

（2）以O点为球心，以小星体P到O点的距离为半径建立球面．P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力．已知质量为和、距离为R的两个质点间的引力势能，G为引力常量．仅考虑万有引力和P远离O点的径向运动．

a．求小星体P从处远离到处的过程中动能的变化量；

b．宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律，其中r为星体到观测点的距离，H为哈勃系数．H与时间t有关但与r无关，分析说明H随t增大还是减小．

【名师解析】：

（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离O点半径为r。和的球内质量相同，即

解得小星体P远离到处时宇宙的密度

（2）a．此球内的质量

P从处远离到处，由能量守恒定律得

动能的变化量

b．由a知星体的速度随增大而减小，星体到观测点距离越大运动时间t越长，由知，H减小，故H随t增大而减小

4. （2023学业水平等级考试上海卷）月球绕地球做匀速圆周运动，已知月球的公转周期为T，质量为m，地月距离为r，则月球绕地球转动的线速度大小为       ，地球和月球之间的引力为         。

【参考答案】    ，

【名师解析】月球绕地球转动的线速度大小为v=，由向心力公式可知，地球和月球之间的引力为F=mr=，。

5. （2023年6月高考浙江选考科目）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T₀，则（    ）

A．木卫一轨道半径为                  

B．木卫二轨道半径为

C．周期T与T₀之比为                    

D．木星质量与地球质量之比为

【参考答案】. D

【名师解析】木卫三的公转轨道半径为nr，对木卫一和木卫三，由开普勒第三定律可得==1/4²,解得r₁=，A错误；对木卫二和木卫三，由开普勒第三定律可得==2²/4²=1/4，解得r₂=，B错误；木卫三绕木星运动周期与月球绕地球运动周期之间没有联系，C错误；木卫三绕木星运动，=,月球绕地球运动，=,联立解得=，D正确。

6. （2023年高考山东高中学业水平等级考试）牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（   ）

A. B.

C. D.

【参考答案】C

【名师解析】

设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有

月球绕地球公转有

，r = 60R

联立有，C正确。

7. （2023高考湖北卷）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为，如图所示。根据以上信息可以得出（    ）

A. 火星与地球绕太阳运动的周期之比约为

B. 当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大

C. 火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为

D. 下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前

【参考答案】B

【名师解析】火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3：2，根据开普勒第三定律有

可得，故A错误；

火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；

在星球表面根据万有引力定律有

由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，C错误；

火星和地球绕太阳匀速圆周运动，有，

要发生下一次火星冲日则有

得

可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月18日之后，故D错误。

8. （2023年高考湖南卷）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快．不考虑恒星与其它物体的相互作用．已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（    ）

A. 同一恒星表面任意位置的重力加速度相同

B. 恒星坍缩后表面两极处重力加速度比坍缩前的大

C. 恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变

D. 中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度

【参考答案】B

【名师解析】由于自转，同一恒星两极的重力加速度大于赤道处的重力加速度，即表面各处的重力加速度不相同，A错误；由于恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，所以恒星坍缩后表面两极处重力加速度比坍缩前的大，B正确；根据G=m，解得第一宇宙速度v=，恒星坍缩后,质量M不变，半径R减小，所以恒星坍缩前后的第一宇宙速度增大，C错误；根据题述质量为太阳质量的倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的倍将坍缩成中子星，即中子星的密度大于白矮星，所以中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。

9. （12分）（2023年高考北京卷）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星．球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G．

（1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质．暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量．

【名师解析】（1）由万有引力定律和向心力公式，，

解得：v=

（2）在r≤R内部，星体质量M₀=

由万有引力定律和向心力公式，，

解得：v=

（3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式，，

对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式，，

联立解得得：M’=（n-1）M

10．（2022·高考广东物理）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（    ）

A．火星公转的线速度比地球的大           

B．火星公转的角速度比地球的大

C．火星公转的半径比地球的小             

D．火星公转的加速度比地球的小

【参考答案】D

【命题意图】本题考查开普勒第三定律、万有引力定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动。

【解题思路】

根据题述，火星冬季时长为地球的1.88倍，可知火星绕太阳运动周期是地球的1.88倍。由开普勒第三定律可知，火星绕太阳匀速圆周运动的轨道半径比地球绕太阳匀速圆周运动的轨道半径大，选项C错误；由万有引力提供向心力，G=m，解得v=，由r_火＞r_地，可得v_火＜v_地， A项错误；由万有引力提供向心力，G=mω²r，解得ω=，由r_火＞r_地，可得ω_火＜ω_地， B项错误；由万有引力提供向心力，G=ma，解得a=，由r_火＞r_地，可得a_火＜a_地， D项正确。

【一题多解】在分析得出火星绕太阳运动周期是地球的1.88倍，即T _火＞T_地后，利用ω=2π/T，得出ω_火＜ω_地。

11. （2023高考福建卷）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L₂点附近，L₂点的位置如图所示。在L₂点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L₂点到地心的距离记为r（r << R），在L₂点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（   ）[可能用到的近似]

A. B.

C. D.

【参考答案】BD

【名师解析】

由题知，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中一点O（图中未标出）转动的双星系统，则有，，r₁＋r₂ = R

联立解得，A错误B正确；

由题知，在L₂点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有

再根据选项AB分析可知Mr₁ = mr₂，r₁＋r₂ = R，

联立解得，C错误D正确。

12. （2022年高考湖北物理） 2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为（    ）

A. B. 2

C. D.

【参考答案】C

【命题意图】本题考查万有引力定律与天体运动及其相关知识点。

【名师解析】

地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和的匀速圆周运动都是由万有引力提供向心力，有

解得公转的线速度大小为，根据题述天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，即中心天体的质量M之比为2:1，公转的轨道半径r相等，由此可知望舒与地球公转速度大小的比值为，故选C。

13. （2022高考辽宁物理）如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角，两角最大值分别为、，则（　　）

A. 水星的公转周期比金星的大

B. 水星的公转向心加速度比金星的大

C. 水星与金星公转轨道半径之比为

D. 水星与金星的公转线速度之比为

【参考答案】BC

【命题意图】本题考查万有引力定律和天体运动及其相关知识点.

【名师解析】

天体运动，万有引力提供向心力有，

可解得  ，。因为水星的公转半径比金星小，故可知水星的公转周期比金星小；水星的公转向心加速度比金星的大，故选项A错误，B正确；设水星的公转半径为，地球的公转半径为，当α角最大时有，同理可知有

所以水星与金星的公转半径之比为，选项C正确；

根据万有引力提供向心力，，可得

由，联立解得，选项D错误。