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专题19  带电粒子在电场中的运动

考点01 带电小球在电场中运动

1. （2024年高考辽宁卷） 在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面（纸面）内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中（　　）

A. 动能减小，电势能增大

B. 动能增大，电势能增大

C. 动能减小，电势能减小

D. 动能增大，电势能减小

【答案】D

【解析】

根据题意若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向向下，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知电场强度方向水平向右，若小球的初速度方向垂直于虚线，则小球做类平抛运动，其从O点出发运动到O点等高处的过程中，动能增大，重力做功为零，电场力的方向与小球的运动方向相同，则电场力对小球正功，电势能减小，D正确。

2. （2024高考广西卷）如图，将不计重力、电荷量为q带负电的小圆环套在半径为R的光滑绝缘半圆弧上，半圆弧直径两端的M点和N点分别固定电荷量为和的负点电荷。将小圆环从靠近N点处静止释放，小圆环先后经过图上点和点，己知则小圆环从点运动到点的过程中（　　）

A. 静电力做正功 B. 静电力做负功

C. 静电力先做正功再做负功 D. 静电力先做负功再做正功

【答案】A

【解析】

设在小圆环在、间的任意一点，与的夹角为，根据几何关系可得

带负电的小圆环在两个负点电荷电场中的电势能

根据数学知识可知在范围内，随着的增大，小圆环的电势能一直减小，所以静电力做正功。

故选A。

3. （2024年高考江西卷） 如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　）

A. 最低点的位置

B. 速率达到最大值时的位置

C. 最后停留位置x的区间是

D. 若在最低点能返回，则初始电势能

【答案】BD

【解析】

全过程，根据动能定理  

解得

故A错误；

B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有

解得

故B正确；

小球甲最后停留时，满足

解得位置x的区间

故C错误；

若在最低点能返回，即在最低点满足

结合动能定理

又

联立可得

故D正确。

4. （2023高考全国乙卷）在O点处固定一个正点电荷，P点在O点右上方。从P点由静止释放一个带负电的小球，小球仅在重力和该点电荷电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP > OM，OM = ON，则小球（   ）

A. 在运动过程中，电势能先增加后减少

B. 在P点的电势能大于在N点的电势能

C. 在M点的机械能等于在N点的机械能

D. 从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功

【参考答案】BC

【命题意图】本题考查带电小球在点电荷电场中的运动及其相关知识点。

【解题思路】在带电小球运动过程中，静电力先做正功后做负功，电势能先减小后增大，A错误；由于OP＞ON，P点的电势低于N点的电势，小球在P点的电势能大于在N点的电势能，B正确；由于OM=ON，MN两点处于正点电荷电场的同一等势面上，只有重力做功，机械能守恒，可知小球在M点的机械能等于在N点的机械能，C正确；小球从M点运动到N点的过程中，电场力先做正功后克服电场力做功，D错误。

【规律总结】带电粒子沿等势面运动，电场力对带电粒子不做功。

5. （2023年6月高考浙江选考科目）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为、质量为的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（    ）

A．MC距离为                      

B．电势能增加了

C．电场强度大小为            

D．减小R的阻值，MC的距离将变大

【参考答案】B

【名师解析】小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点，小球静止时，细线与AB板夹角为30°，细线与竖直方向夹角为30°，小球所受电场力方向垂直极板AB，与竖直线方向夹角为30°，可知电场力F=F_T，2Fcos30°=mg，解得F==N，电场强度大小为F/q==，C错误；剪断细线，小球沿与CD板夹角为30°的方向加速直线运动到M点，由tan30°=d/MC解得MC=10cm，A错误；小球运动到CD板上的M点，克服电场力做功W=F（d-lsin30°）=×0.075J=，B正确；减小R的阻值，两块正对的平行金属板之间电压不变，MC的距离不变，D错误。

6．（2023高考北京卷）（10分）某种负离子空气净化原理如图所示．由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器．在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变．在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d．不考虑重力影响和颗粒间相互作用．

（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；

（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为，其中r为颗粒的半径，k为常量．假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度．

a．半径为R、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；

b．已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为和的两种颗粒，若的颗粒恰好100%被收集，求的颗粒被收集的百分比．

【名师解析】：（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集。

       L=v₀t，d=, qE=ma, E=U₁/d

联立解得：U₁=,

（2）a。可把颗粒的运动分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向运动

   颗粒在水平方向，L=v₀t，

颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f=kRv_max，f=qU₂/d

在竖直方向颗粒匀速下落，    d=v_maxt

联立解得：U₂=

b. q∞r²，10μm带电荷量q的颗粒恰好100%收集，

颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f=kRv_max，f=qU₂/d

在竖直方向颗粒匀速下落，    d=v_maxt

2.5μm的颗粒带电荷量为q’=q/16，

颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f’=kRv’_max，f’=q’U₂/d

设只有距离下极板为d’的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落，    d’=v’_maxt

联立解得：d’=d/4

2.5μm的颗粒被收集的百分比为×100%=25%。

7．（2023全国高考新课程卷）（14分）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v₀、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。

（1）求油滴a和油滴b的质量之比；

（2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。

【名师解析】（1）根据题述f=kvr。

设a油滴质量为m₁，a油滴以速度v₀向下匀速运动，由平衡条件， 

m₁g=kv₀r₁，m₁=（2分）

设b油滴质量为m₂，b油滴以速度v₀向下匀速运动，由平衡条件，

m₂g=kv₀r₂，m₂=（2分）

联立解得：油滴a和油滴b的质量之比=（2分）

（2）当在上下极板加恒定电压（上极板高电势），这两个油滴均以v₀向下匀速运动，

a油滴速度减小，说明a油滴受到了向上的电场力，则a油滴带负电荷；

b油滴速度增大，说明b油滴受到了向下的电场力，则b油滴带正电荷。（2分）

由=8和m₁=，m₂=可知，a、b两油滴的半径之比为=2，

由f=kvr可知两个油滴均以v₀向下匀速运动，所受阻力之比为==2  （1分）

设b油滴以速度v₀向下匀速运动，所受阻力为f= m₂g，

由f=kvr可知b油滴以v₀向下匀速运动，所受阻力f₂=2f=2m₂g，

a油滴以v₀向下匀速运动，所受阻力f₁=2f₂=4m₂g，（2分）

设a油滴电荷量为q₁，由平衡条件，m₁g=q₁E+f₁，

设b油滴电荷量为q₂，由平衡条件，m₂g+q₂E=f₂， （2分）

联立解得：a、b所带电荷量的绝对值之比为=  （1分）

8. （2023高考福建卷）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m的小滑块A和B，其电荷量分别为和。A右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空间存在水平向右场强大小为E的匀强电场。A、B与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均为。时，A以初速度向右运动，B处于静止状态。在时刻，A到达位置S，速度为，此时弹簧未与B相碰；在时刻，A的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为；在细杆与B碰前的瞬间，A的速度为，此时。时间内A的图像如图（b）所示，为图线中速度的最小值，、、均为未知量。运动过程中，A、B处在同一直线上，A、B的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限度内。

（1）求时间内，合外力对A所做的功；

（2）求时刻A与B之间的距离；

（3）求时间内，匀强电场对A和B做的总功；

（4）若增大A的初速度，使其到达位置S时的速度为，求细杆与B碰撞前瞬间A的速度。

【参考答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【名师解析】

（1）时间内根据动能定理可知合外力做的功为

（2）由图（b）可知时刻A的加速度为0，此时滑块A所受合外力为0，设此时A与B之间的距离为r₀，根据平衡条件有

其中

联立可得

（3）在时刻，A速度达到最大，此时A所受合力为0，设此时A和B的距离为r₁，则有

且有

，

联立解得

时间内，匀强电场对A和B做的总功

（4）过S后，A、B的加速度相同，则A、B速度的变化相同。设弹簧的初始长度为；A在S位置时，此时刻A、B的距离为，A速度最大时，AB距离为，细杆与B碰撞时，A、B距离为。

A以过S时，到B与杆碰撞时，A增加的速度为，则B同样增加速度为，设B与杠相碰时，B向左运动。设B与弹簧相碰到B与杆相碰时，B向左运动。对A根据动能定理有

对B有

当A以过S时，设B与杆碰撞时，A速度为，则B速度为，设B与杠相碰时，B向左运动。设B与弹簧相碰到B与杆相碰时，B向左运动。

对A根据动能定理有

对B

联立解得

考点02 带电粒子在电场中运动

1 （2023高考全国甲卷）在一些电子设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚焦。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是

A.    B.   

C.    D.   

【参考答案】D

【命题意图】本题考查对电场线的理解，电子在非匀强电场中的运动及其相关知识点。

【解题思路】根据电子所受电场力与电场线切线方向相反，且指向轨迹的凹侧，可知正确的是D。

2. （2023年高考湖北卷） 一带正电微粒从静止开始经电压加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（    ）

A.

B.

C. 微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2

D. 仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变

【参考答案】BD

【名师解析】

粒子在电容器中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动，根据电场强度和电势差的关系及场强和电场力的关系可得

，

粒子射入电容器后的速度为，水平方向和竖直方向的分速度分别为

，

从射入到运动到最高点的过程，由匀变速直线运动规律  

粒子射入电场时由动能定理可得

联立解得，B正确；

粒子从射入到运动到最高点，由运动学规律可得，

联立可得，A错误；

粒子穿过电容器时从最高点到穿出时由运动学可得，

射入电容器到最高点有

解得

设粒子穿过电容器时速度方向与水平方向的夹角为，则

设粒子射入电容器时速度方向与水平方向的夹角为=45°，微粒穿过电容器区域的偏转角度为α+β，tan（α+β）==3，C错误；

粒子射入到最高点的过程水平方向的位移为，竖直方向的位移为

联立，，

解得

且，

即解得

即粒子在运动到最高点的过程中水平和竖直位移均与电荷量和质量无关，

最高点到射出电容器过程，同理，，

即轨迹不会变化，D正确。

3. （2022新高考福建卷）我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示。放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例。工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。某次测试中，氙气被电离的比例为95%，氙离子喷射速度为，推进器产生的推力为。已知氙离子的比荷为；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则（　　）

A. 氙离子的加速电压约为

B. 氙离子的加速电压约为

C. 氙离子向外喷射形成的电流约为

D. 每秒进入放电通道的氙气质量约为

【参考答案】AD

【命题意图】此题考查动能定理、动量定理及其相关知识点。

【名师解析】

氙离子经电场加速，根据动能定理有

可得加速电压为，选项A正确，B错误；

在△t时间内，有质量为△m的氙离子以速度喷射而出，形成电流为，由动量定理可得

进入放电通道的氙气质量为，被电离的比例为，则有

联立解得，选项D正确；

在△t时间内，有电荷量为△Q的氙离子喷射出，则有， 

联立解得。选项C错误。

4. （2022年新高考江苏卷）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，边长为，边长为，质量为m、电荷量为的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为，入射角为，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力。

（1）当时，若粒子能从边射出，求该粒子通过电场的时间t；

（2）当时，若粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，求入射角的范围；

（3）当，粒子在为范围内均匀射入电场，求从边出射的粒子与入射粒子的数量之比。

【参考答案】（1）；（2）或；（3）

【命题意图】本题考查带电粒子在匀强电场中的运动及其相关知识点。

【解题思路】

（1）电场方向竖直向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图所示

粒子在水平方向的速度为

根据可知

解得

（2）粒子进入电场时的初动能

粒子进入电场沿电场方向做减速运动，由牛顿第二定律可得

粒子从边射出电场时与轴线的距离小于d，则要求

解得

所以入射角的范围为

或

（3）设粒子入射角为时，粒子恰好从D点射出，由于粒子进入电场时，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向反复做加速相同的减速运动，加速运动。粒子的速度

运动时间为

粒子在沿电场方向，反复做加速相同的减速运动，加速运动，则

则

则粒子在分层电场中运动时间相等，设为，则

且

代入数据化简可得

即

解得

（舍去）或

解得

则从边出射的粒子与入射粒子的数量之比

5．（9分）

（2022年高考北京卷）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。

（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；

（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；

（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。

【命题意图】此题考查功能关系及其相关知识点。

【名师解析】

（1）两极板间的场强

带电粒子所受的静电力

（2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有

得

（3）设带电粒子运动距离时的速度大小为，根据功能关系有

带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速运动，设用时分别为。

有

得