如图所示，光滑的凹槽ABCD固定在水平面上，凹槽横截面为圆弧的一部分，其半径R
10m，弧长AB
CD
5cm，凹槽边长LAD
LBC
0.2m，取g
10m/s2。
(1)如图1所示，将一个可看作质点的小球自A点静止释放，求小球的运动周期。
(2)如图2所示，在A点给小球一个沿AD方向的初速度，使小球恰能通过C点，则初速度v应为多少？
(3)若凹槽并未固定，而是可在光滑水平面上自由移动，则可能会导致不同的运动结果。已知小球与凹槽的质量之比为1∶4，初始时刻自A点将小球静止释放，求：
ⅰ.凹槽的最大位移（保留一位有效数字）；
ⅱ.以初始时刻A点的位置为原点，在AB平面建立直角坐标系，此时凹槽圆心的坐标记为
，试写出小球运动的轨迹方程，并说明其运动轨迹的形状。
【答案】(1)
(2)
(3)ⅰ.
；ⅱ. 
，椭圆。
【知识点】人船模型、等效单摆及其摆长的计算
【详解】（1）因为弧长
远小于
，所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性，符合类单摆模型，其圆弧半径
为类单摆的摆长，由单摆的周期公式可得，小球的运动周期
（2）小球的运动由两个分运动合成，这两个分运动分别是以速度
沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面上的往复运动，设全程所用时间为
，小球恰能通过C点，则
且
联立解得初速度
（3）ⅰ.若凹槽并未固定，小球和凹槽组成的系统水平方向动量守恒，小球和凹槽的质量之比为1∶4，分别设为
和 
，故水平方向
两边均乘以
解得
小球运动到凹槽的最右端时，凹槽位移最大，此时
又
联立解得凹槽的最大位移
ⅱ.以初始时刻A点的位置为原点，在AB平面建立直角坐标系，此时凹槽圆心的坐标记为
，则当小球向右运动到
位置时，凹槽向左运动
距离，且圆弧半径
分析几何关系
整理得小球运动的轨迹方程为
轨迹为椭圆。
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