20世纪人类最伟大的创举之一是实现了在太空翱翔的梦想。如图1所示，在地球表面水平抛射物体时，随着抛射速度的增大，物体被抛射的越来越远。如果没有空气阻力，且不考虑地球自转的影响，当抛射速度达到某一值时，它将绕地球做匀速圆周运动。抛射速度再大，轨道将变成椭圆。已知质量为
和
，距离为r的两个质点间的引力势能
，G为引力常量。
(1)卫星沿圆周轨道运动的情况较为简单。已知地球质量为M，某卫星P质量为m，请推导该卫星在半径为r的圆周轨道上运行时的机械能E；
(2)卫星沿椭圆轨道运动的情况较为复杂。
a.卫星沿椭圆轨道运动时，它与地心的连线在相等的时间内扫过的面积相等。当卫星运行到椭圆轨道的近地点时，与地心的距离为
，速度大小为
；当卫星运行到远地点时，与地心的距离为
，速度大小为
。请推导证明
；
b.卫星沿椭圆轨道运动时，它的机械能守恒。如图2所示，轨道1、轨道2、轨道3均为椭圆且半长轴均为a，该卫星在三个轨道上运行时的机械能分别为
、
、
。小明同学通过类比（1）问猜想
、
、
相等，请你推理论证他的猜想是否正确。
【答案】(1)
(2)a.见解析；b.见解析
【知识点】开普勒第二定律、天体运动中机械能的变化
【详解】（1）对于圆轨道运行的卫星
根据机械能的定义
联立可得
（2）a.在很短时间
内，卫星与地心的连线扫过的面积为
，把它近似看成三角形面积，对于近地点
对于远地点
且
由速度定义有
，
联立解得
b.他的猜想正确，推理论证如下：
卫星沿椭圆轨道运动时的机械能守恒，近地点时的机械能
远地点时的机械能
根据（2）a问中的结论
结合几何关系
联立可得
由上式说明，当卫星椭圆轨道的半长轴相等时，机械能不变，即三个轨道上的机械能相等，猜想正确。
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