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专题24  带电粒子在复合场中的运动

考点01 带电粒子在电磁复合场中的运动

1.（2023高考江苏学业水平选择性考试）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v₀时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v₀时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。

（1）求电场强度的大小E；

（2）若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y₁；

（3）若电子入射速度在0 < v < v₀范围内均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N₀的百分比。

【参考答案】（1）v₀B；（2）；（3）90%

【名师解析】

（1）由题知，入射速度为v₀时，电子沿x轴做直线运动则有

Ee = ev₀B

解得

E = v₀B

（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有

解得

（3）若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有

由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有

F_合 = ev_mB－eE

在最低点有

F_合 = eE－evB

联立有

要让电子达纵坐标位置，即

y ≥ y₂

解得

则若电子入射速度在0 < v < v₀范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N₀的90%。

2．（2022·全国理综甲卷·18）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（平面）向里，电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（    ）

A．       B．

C．  D．

【参考答案】 B

【命题意图】本题考查带电粒子在电磁场中的运动。

【解题思路】带电粒子受到竖直向上的电场力和垂直速度方向的洛伦兹力作用，由左手定则可判断出洛伦兹力方向向左，轨迹可能正确的是B。

【名师解析】运用运动的分解，将该运动分解为匀速圆周运动和匀速直线运动，如下，

因为，初速度为零，所以匀速圆周运动的速度大小和匀速直线的速度大小相等， 运动到x轴时，电场力做功为零、洛伦兹力不做功，都有v_圆=v_直 ，因此两运动的合成，其速度不会出现反向，排除CD。由左手定则可判断出所受洛伦兹力向左，轨迹向左偏转，由匀速直线运动可知，整体运动向左，由匀速圆周运动可知，初始时刻速度向上，所以轨迹可能正确的是B。

然后，我们补充说明一下几种不同情况下的轨迹形状，

（1）若 v_圆=0 ，轨迹为直线。

（2）若 v_直=0 ，轨迹为圆。

（3）若v_圆=v_直 ，如下，

（4）若 v_圆>v_直 ，轨迹如下，速度有反向，

（5）若 v_圆<v_直 ，轨迹如下，

【易错提醒】根据左手定则可以判断出AC是错误的。注意到洛伦兹力使带电粒子向左下偏转后电场力做负功，带电粒子速度减小，洛伦兹力减小，可排除图像D。

3．（2022·高考广东物理）如图7所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有（    ）

A．电子从N到P，电场力做正功             

B．N点的电势高于P点的电势

C．电子从M到N，洛伦兹力不做功          

D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力

【参考答案】BC

【命题意图】本题考查带电粒子在电场和磁场的复合场中运动，等势面，洛伦兹力，电势，电场力做功，洛伦兹力做功等知识点。

【解题思路】

电子从M点由静止释放，从M到N，电场力做正功。由于M、P在同一等势面上，电子从N到P，电场力做负功，A错误； 根据沿电场线方向，电势降低，可知N点电势高于P点电势，B正确；根据洛伦兹力方向与速度方向垂直，对带电粒子永远不做功，可知电子从M到N，洛伦兹力不做功，C正确；由于洛伦兹力不做功，M、P在同一等势面上，电子在M点和P点速度都是零，所以电子在M点和P点都是只受到电场力作用，所以电子在M点所受的合力等于在P点所受的合力，D错误。

考点02带电小球在电磁和重力复合场中的运动

1.（2023年全国新课程卷第25题）

（14分）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v₀、；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。

（1）求油滴a和油滴b的质量之比；

（2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。

【名师解析】（1）根据题述f=kvr。

设a油滴质量为m₁，a油滴以速度v₀向下匀速运动，由平衡条件， 

m₁g=kv₀r₁，m₁=（2分）

设b油滴质量为m₂，b油滴以速度v₀向下匀速运动，由平衡条件，

m₂g=kv₀r₂，m₂=（2分）

联立解得：油滴a和油滴b的质量之比=（2分）

（2）当在上下极板加恒定电压（上极板高电势），这两个油滴均以v₀向下匀速运动，

a油滴速度减小，说明a油滴受到了向上的电场力，则a油滴带负电荷；

b油滴速度增大，说明b油滴受到了向下的电场力，则b油滴带正电荷。（2分）

由=8和m₁=，m₂=可知，a、b两油滴的半径之比为=2，

由f=kvr可知两个油滴均以v₀向下匀速运动，所受阻力之比为==2  （1分）

设b油滴以速度v₀向下匀速运动，所受阻力为f= m₂g，

由f=kvr可知b油滴以v₀向下匀速运动，所受阻力f₂=2f=2m₂g，

a油滴以v₀向下匀速运动，所受阻力f₁=2f₂=4m₂g，（2分）

设a油滴电荷量为q₁，由平衡条件，m₁g=q₁E+f₁，

设b油滴电荷量为q₂，由平衡条件，m₂g+q₂E=f₂， （2分）

联立解得：a、b所带电荷量的绝对值之比为=  （1分）

2．（10分）（2023年北京卷）某种负离子空气净化原理如图所示．由空气和带负电的灰尘颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器．在收集器中，空气和带电颗粒沿板方向的速度保持不变．在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，间距为d．不考虑重力影响和颗粒间相互作用．

（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；

（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v方向相反，大小为，其中r为颗粒的半径，k为常量．假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度．

a．半径为R、电荷量为的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压；

b．已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为和的两种颗粒，若的颗粒恰好100%被收集，求的颗粒被收集的百分比．

【名师解析】：

（1）只要紧靠上极板的颗粒能够落到收集板右侧，颗粒就能够全部收集。

       L=v₀t，d=, qE=ma, E=U₁/d

联立解得：U₁=,

（2）a。可把颗粒的运动分解为水平方向匀速直线运动和竖直方向运动

   颗粒在水平方向，L=v₀t，

颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f=kRv_max，f=qU₂/d

在竖直方向颗粒匀速下落，    d=v_maxt

联立解得：U₂=

b. q∞r²，10μm带电荷量q的颗粒恰好100%收集，

颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f=kRv_max，f=qU₂/d

在竖直方向颗粒匀速下落，    d=v_maxt

2.5μm的颗粒带电荷量为q’=q/16，

颗粒极短时间内加速到最大速度后，所受阻力等于电场力，f’=kRv’_max，f’=q’U₂/d

设只有距离下极板为d’的颗粒被收集，在竖直方向颗粒匀速下落，    d’=v’_maxt

联立解得：d’=d/4

2.5μm的颗粒被收集的百分比为×100%=25%。

3.（2022高考广东卷）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：

（1）比例系数k；

（2）油滴A、B带电量和电性；B上升距离电势能的变化量；

（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。

【答案】（1）；

（2）油滴A不带电，油滴B带负电，电荷量为，；

（3）速度方向向上，大小为

速度方向向下，大小为

【解析】

（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小  

匀速时   

又   

联立可得

（2）加电压后，油滴A速度不变，可知油滴A不带电，油滴B最后速度方向向上，可知油滴B所受电场力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B带负电，油滴B向上匀速运动时，速度大小为

根据平衡条件可得

解得

根据

又

联立解得

（3）油滴B与油滴A合并后，新油滴的质量为，新油滴所受电场力

若，即

可知

新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律

可得

新油滴向上加速，达到平衡时

解得速度大小为

速度方向向上；

若，即

可知

设向下为正方向，根据动量守恒定律

可知

新油滴向下加速，达到平衡时

解得速度大小为

速度方向向下。