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专题26  与现代科技相关的电磁问题

考点01 与现代科技相关想电磁问题

1. （2024高考江西卷）石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构新材料，具有丰富的电学性能．现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子（电子）浓度。如图（a）所示，在长为a，宽为b的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强度为B，电极1、3间通以恒定电流I，电极2、4间将产生电压U。当时，测得关系图线如图（b）所示，元电荷，则此样品每平方米载流子数最接近（    ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

设样品每平方米载流子(电子)数为n，电子定向移动的速率为v，则时间t内通过样品的电荷量

q=nevtb

根据电流的定义式得

当电子稳定通过样品时，其所受电场力与洛伦兹力平衡，则有

联立解得

结合图像可得

解得

故选D。

2．（12分）（2024高考北京卷）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道．图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图．放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d．阴极发射电子，一部分电子进入放电室，另一部分未进入．

稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感应强度大小分别为E和；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等．放电室内的大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R的匀速圆周运动（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离．每个氙离子的质量为M、电荷量为，初速度近似为零．氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射的未进入放电室的电子刚好完全中和．

已知电子的质量为m、电荷量为；对于氙离子，仅考虑电场的作用．

（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；

（2）求径向磁场的磁感应强度大小；

（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F．

【名师解析】

（1）氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第二定律

解得

（2）电子由阴极发射运动到阳极过程中，由动能定理有

电子在阳极附近做匀速圆周运动，轴线方向上所受电场力与洛兹力平衡，即

解得

（3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，则单位时间内被电离的氢离子数

氙离子经电场加速，有

时间内氙离子所受到的作用力为F，由动量定理有

解得

由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小

则 

3. （2022·全国理综乙卷·21）一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（　　）

A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大

B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大

C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能

D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能

【参考答案】BD

【名师解析】．在截面内，极板间各点的电场强度大小E与其到O点的距离r成反比，可设为

带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有，

可得，即粒子1入射时的动能等于粒子2入射时的动能，故C错误；

粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，故A错误；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，故B正确；

粒子3做向心运动，有，可得

粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，故D正确；

4．（2022年6月浙江选考）（10分）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为－q（q>0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v₀的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。

（1）1求磁感应强度B的大小；

2若速度大小为v₀的离子能打在Q板的A处，求转筒P角速度ω的大小；

（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；

（3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。

【参考答案】（1）①，②，k = 0，1，2，3…；

（2），n = 0，1，2，…；（3），

【命题意图】本题考查带电粒子在磁场中的运动及其相关知识点。

【解题思路】

（1）①离子在磁场中做圆周运动有

则

②离子在磁场中的运动时间

转筒的转动角度

，k = 0，1，2，3…

（2）设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为，有

离子在磁场中的运动时间

转筒的转动角度

ω′t′ = 2nπ + θ

转筒的转动角速度

，n = 0，1，2，…

动量定理

，n = 0，1，2，…

（3）转筒的转动角速度

其中

k = 1，，n = 0，2

可得，

5．（2022年6月浙江选考）（10分）舰载机电磁弹射是现在航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R₀，同时施加回撤力F，在F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v-t图如图2所示，在t₁至t₃时间内F=(800－10v)N，t₃时撤去F。已知起飞速度v₁=80m/s，t₁=1.5s，线圈匝数n=100匝，每匝周长l=1m，动子和线圈的总质量m=5kg，飞机质量M=10kg， R₀=9.5Ω，B=0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的影响，求：

（1）恒流源的电流I；

（2）线圈电阻R；

（3）时刻t₃。

【参考答案】（1）80A；（2）；（3）

【命题意图】本题考查电磁感应、安培力、动量定理、牛顿运动定律及其相关知识点。

【解题思路】

（1）由题意可知接通恒流源时安培力

动子和线圈在0~t₁时间段内做匀加速直线运动，运动的加速度为

根据牛顿第二定律有

代入数据联立解得

（2）当S掷向2接通定值电阻R₀时，感应电流为

此时安培力为

所以此时根据牛顿第二定律有

由图可知在至期间加速度恒定，则有

解得

，

（3）根据图像可知

故；在0~t₂时间段内的位移

对t₂~t₃的过程，根据法拉第电磁感应定律有

电荷量的定义式

可得

对t₂~t₃的过程，根据动量定理有

代入相关数据联立可得

解得

考点01  带电粒子在空间电磁场中的运动

1. （2024高考湖南卷）如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O′、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O′O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x ≤ 0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x ≥ 0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v₀。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。

（1）若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；

（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tanθ的绝对值；

（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为，由电子在x轴方向做匀速直线运动得

在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知

可得

且

由题意可知所有电子均能经过O进入电场，则有

联立得

当时，B有最小值，可得

（2）将电子的速度分解，如图所示

有

当有最大值时，最大，R最大，此时，又

，

联立可得

，

（3）当最大时，电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移，根据匀变速直线运动规律有

由牛顿第二定律知

又  

联立得  

2. （2022年高考山东物理）中国“人造太阳”在核聚变实验方而取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。

（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；

（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；

（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用表示）；

（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。

【参考答案】（1）；（2）；（3）（，，）；

（4）

【命题意图】本题考查带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动和在匀强电场中的类平抛运动。

【名师解析】

（1）如图所示

离子甲受到的电场力沿轴负方向，离子甲的运动可以分解为y方向的匀减速运动和沿z方向的匀速运动从A到O的过程，有

   L= v₀cosβ·t    

v₀sinβ=at，

qE=ma，

联立解得：E=

（2）离子甲在磁场I中运动的最大轨迹半径为r₁=d，

离子从坐标原点O沿z轴正方向进入磁场I中，由洛伦兹力提供向心力

qvB=m

解得：v=

离子经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，由洛伦兹力提供向心力可得

可得

为了使离子在磁场中运动，需满足

，

联立可得

即要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；

（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为

离子在磁场II中的轨迹半径为

离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示

离子第四次穿过平面的坐标为

离子第四次穿过平面的坐标为

故离子第四次穿过平面的位置坐标为（，，）

（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得

可得

离子甲在磁场I中的轨迹半径为

离子甲在磁场II中的轨迹半径为

离子乙在磁场I中的轨迹半径为

离子乙在磁场II中的轨迹半径为

根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示

从点进入磁场到第一个交点过程，有

可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为

3. （2022山东物理）中国“人造太阳”在核聚变实验方而取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。

（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；

（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；

（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用表示）；

（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。

【参考答案】（1）；（2）；（3）（，，）；

（4）

【命题意图】本题考查带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动和在匀强电场中的类平抛运动。

【名师解析】

（1）如图所示

离子甲受到的电场力沿轴负方向，离子甲的运动可以分解为y方向的匀减速运动和沿z方向的匀速运动从A到O的过程，有

   L= v₀cosβ·t    

v₀sinβ=at，

qE=ma，

联立解得：E=

（2）离子甲在磁场I中运动的最大轨迹半径为r₁=d，

离子从坐标原点O沿z轴正方向进入磁场I中，由洛伦兹力提供向心力

qvB=m

解得：v=

离子经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，由洛伦兹力提供向心力可得

可得

为了使离子在磁场中运动，需满足

，

联立可得

即要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；

（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为

离子在磁场II中的轨迹半径为

离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示

离子第四次穿过平面的坐标为

离子第四次穿过平面的坐标为

故离子第四次穿过平面的位置坐标为（，，）

（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得

可得

离子甲在磁场I中的轨迹半径为

离子甲在磁场II中的轨迹半径为

离子乙在磁场I中的轨迹半径为

离子乙在磁场II中的轨迹半径为

根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示

从点进入磁场到第一个交点过程，有

可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为